Вариационные задачи определения траектории полетов

В громадном большинстве случаев вариационные задачи не удается довести до аналитического решения, в силу чего применяются численные методы расчета, не обладающие такой общностью, как аналитические решения.

Но и численные решения даже отдельных задач подчас даются нелегко. Не случайно, что численное представление решения отдельных классов вариационных задач – это не просто корни квадратного уравнения, а результаты, которые часто являются серьезным предметом исследования, сопряженным со сложным математическим аппаратом и длительными, объемными вычислениями и анализом результатов. Т

олько в силу указанных причин вариационные методы используются, как правило, для выявления общих закономерностей оптимального управления и проектирования его на этапах планирования полетов. Что же касается расчета маневров непосредственно в процессе обеспечения пусков, то вариационные методы еще не нашли сколько- нибудь заметного практического применения ввиду их громоздкости, сложности и низкого быстродействия.
Другим недостатком этих методов является то, что они не учитывают ограничений, наложенных в виде неравенств. Правда, благодаря усилиям отдельных исследователей (Л. Миеле, Д. Лоуден, Г. Лайтман, В. А. Троицкий и др.), по крайней мере, в некоторых частных задачах этот недостаток удалось преодолеть (путем приведения неравенств к форме равенств). Однако в целом проблема осталась нерешенной, и она привела к необходимости разработать новый метод, о чем будет сказано ниже.
Связи: уравнения движения ракеты с учетом притяжения Луны и тяги двигателя.
Управления: величина тяги двигателя, ее направление и время работы двигателя.
Ограничения: тяга двигателя может изменяться от нуля до некоторого максимального значения (двухстороннее неравенство) .
Результат решения: зависимость величин тяги двигателя и направления ее от времени полета.
Принцип максимума легко справляется с этой задачей
и приводит к следующей оптимальной программе управления:
— двигатель должен работать на режиме максимальной тяги в процессе всего полета;
— первую часть пути двигатель разгоняет станцию по направлению к экспедиции, вторую часть — тормозит станцию.
Для выявления таких характеристик исследователь обязан с карандашом в руке выполнить формализованные правила принципа максимума, и затем проанализировать полученный результат.
Конечно, эти операции неподвластны даже современнейшим кибернетическим устройствам. Их может выполнить только человек.
Таким образом, принцип максимума выступает в роли совершенно нового метода, в котором соединяются качественные и количественные результаты.
Существо метода заключается в последовательном оптимальном перемещении управляемого объекта ив одного состояния в другое. Последовательность допустимых решений, соответствующих поэтапному перемещению объекта,. называется полььтшюй (стражегией)^ Политика, обеспечивающая максимальное значение функции дохода (функцшшала), аааывает- ся оптимальной политикой или опггималъной стратегией.
Из этого принципа выводятся основные уравнения динамического программирования (уравнения Беллмана), которые могут рассматриваться как некоторые рекуррентные (вытекающие одно из другого) соотношения, описывающие многошаговую оптимизацию в предельном случае при неограниченном числе шагов. Уравнения Беллмана относятся к классу так называемых функциональных уравнений, и операции с ними представляются достаточно сложными.